Задача по геометрии, решаю уже почти год и никак не решу, это не домашка!
Окружность пересекает стороны треугольника в серединах и касается третьей стороны. Докажите, что треугольник равнобедренный

  • Ответ
    Треугольник АВС пересекается с окружностью на сторонах АВ и ВС в точках D и F (AE=EB и BF=FC) и со стороной АС в точке касания К.
    Точки E, F и С равноудалены от центра окружности О. =>
    EO = OF = OC
    В треугольнике АВС четырехугольник EBOF:
    EB = BF
    EO = OF
    OB - общая =>
    треугольники EBO = OBF (по трем сторонам) =>
    L EBO = L OBF =>
    в новом треугольнике EBF прямая ВО пересекает сторону EF в точке М и EM=MF.
    EF // AC => в треугольнике АВС
    АВ = ВС - треугольник равнобедренный
  • Окружность не пересекает АС в том случае если ОК перпендикулярна АС.
    3 случая: 1) Вершина АВС лежит на прямой ОК. Условие АК=КС выполняется если АВ=ВС.
    2) Проведём прямую POL паралельную АС. Вершина АВС на прямой POL и не совпадает с О. Этот случай не рассмотрел нет времени.
    3) Вершина АВС не лежит на прямых ОК и POL (в плоскости рисунка) . В треугольнике АВС EF средняя линия. Но в тоже время EF средняя линия в треугольнике NOM (точки N и M на прямой АС) . Но по предположению (3) высота NOM не равна высоте АВС. Значит в этом случае точка К не касается, а пересекает АС.

Вас заинтересует